درسنامه آموزشی فصل اول هندسه (1) کلاس دهم ریاضی
درس 2: استدلال
شیوهٔ درست استدلال در زندگی هر فرد و نیز در جامعهٔ انسانی اهمیت فراوانی دارد. استدلال نادرست در بسیاری مواقع، نتیجهگیریهای غلط، تیرهشدن روابط، ایجاد باورهای نادرست و پیامدهای خطرناک فردی و اجتماعی دیگری را در پی خواهد داشت و حتی ممکن است به ایجاد مشکلات شخصیتی در افراد بینجامد. ممکن است فردی با استدلالهایی اینگونه، همواره راه موفقیت را بر خود بسته ببیند:
- من در اولین امتحانم موفق نشدم، پس در امتحانهای بعدی نیز موفق نخواهم شد.
- تیم مورد علاقهٔ من از ابتدای فصل در تمام بازیهایش شکست خورده است، پس در بازی آینده نیز شکست خواهد خورد.
استقرا و استنتاج
در سالهای قبل تا حدی با استدلال و اثبات آشنا شدید. نوعی از استدلال، که با آن روبهرو شدید به این صورت بود که از مشاهدات و بررسی موضوعی در چند حالت، نتیجهای کلی در آن موضوع گرفته میشود یا به اصطلاح «از جزء به کل میرسیم». البته با چنین استدلالی نمیتوان همواره به درستی نتیجهٔ گرفته شده مطمئن بود.
به طور مثال اگر فردی با مشاهدهٔ اینکه سه نفر از افراد یک کلاس به رنگ سبز علاقه دارند، نتیجهگیری کند که همهٔ افراد آن کلاس به رنگ سبز علاقه دارند، فرد مورد نظر از استدلال استقرایی استفاده کرده است.
نوع دیگری از استدلال که با آن آشنا شدید، براساس نتیجهگیری منطقی بر پایهٔ واقعیتهایی است که درستی آنها را پذیرفتهایم و به آن استدلال استنتاجی گفته میشود.
بهطور مثال با دانستن رابطهٔ بین خطوط موازی و مورّب و زوایای بین آنها، اثبات اینکه مجموع زوایای داخلی یک مثلث ${180^ \circ }$ است به طریق مقابل، یک استدلال استنتاجی است که با نمادهای ریاضی نوشته شده است. توجه کنید که استدلال استنتاجی را به صورت کلامی نیز میتوان انجام داد.
$\left. d \right\|BC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \hat B = {{\hat A}_2} \hfill \\ \hat C = {{\hat A}_3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow $
$ \Rightarrow \hat A + \hat B + \hat C = {\hat A_1} + {\hat A_2} + {\hat A_3} = {180^ \circ }$
فعالیت (صفحه 18 کتاب درسی)
به استدلالهایی که دو دانشآموز برای مسئلهٔ زیر ارائه دادهاند، دقت کنید و در مورد میزان اعتبار هریک از آنها گفتوگو کنید.
مسئله: مجموع زاویههای داخلی هر چهارضلعی محدب ${360^ \circ }$ است.
پژمان: در تمام چهارضلعیهای مربع، مستطیل، لوزی و متوازی الاضلاع با توجه به اینکه زاویههای مجاور مکمل یکدیگرند به سادگی ثابت میشود که مجموع زوایای داخلی آنها ${360^ \circ }$ است. بنابراین مجموع زوایای داخلی هر چهارضلعی محدب ${360^ \circ }$ است.
در استدلال پژمان فقط چهارضلعیهای خاص در نظر گرفته شده است بنابراین ایراد دارد.
پیمان: میدانیم مجموع زوایای داخلی هر مثلث ${180^ \circ }$ است. یک چهارضلعی دلخواه مانند $ABCD$ در شکل زیر را در نظر میگیریم و دو رأس مقابل آن، مثلاً $D$ و $B$ را به هم وصل میکنیم.
مجموع زاویههای داخلی چهارضلعی $ABCD$ با مجموع زاویههای داخلی دو مثلث $A\mathop B\limits^\Delta D$ و $B\mathop C\limits^\Delta D$ برابر است؛ بنابراین مجموع زاویههای داخلی چهارضلعی $ABCD$ برابر است با ${360^ \circ }$.
استدلال پیمان از کل به جز به سمت و کاملاً درست میباشد.
پیمان ادعا میکند که با این استدلال ثابت میشود که مجموع زاویههای داخلی هر چهارضلعی برابر ${360^ \circ }$ است. آیا به نظر شما این ادعای او درست است؟
آیا همین استدلال را برای هر چهارضلعی دیگری که به شما بدهند، میتوانید به کار ببرید؟ اگر جواب شما مثبت است، پس این ویژگی را که «مجموع زاویههای داخلی چهارضلعی $ABCD$ در مسئلهٔ قبل برابر ${360^ \circ }$ است»، به سایر چهارضلعی های محدب میتوان تعمیم داد.
- نوع استدلال ارائه شده توسط هرکدام از دانشآموزان را بیان کنید.
استدلال پژمان استقرایی و استدلال پیمان استدلال استنتاجی است.
مثال: میدانیم که هر نقطهٔ روی عمود منصف یک پاره خط از دو سِر آن پاره خط به یک فاصله است و هر نقطه که از دو سر یک پاره خط به یک فاصله باشد، روی عمود منصف آن پاره خط قرار دارد.
حال با کامل کردن استدلال استنتاجی بیان شده نتیجه بگیرید که سه عمودمنصف اضلاع هر مثلث همرساند (در یک نقطه به هم میرسند).
استدلال: مثلث دلخواه $ABC$ در شکل زیر را در نظر میگیریم. چون پاره خطهای $AB$ و $AC$ متقاطعاند، عمودمنصفهای آنها نیز در نقطهای مانند $O$ متقاطعاند.
1- نقطهٔ $O$ روی عمود منصف پاره خط $AC$ است؛ بنابراین $OA = OC$
2- نقطهٔ $O$ روی عمود منصف پاره خط $AB$ است؛ بنابراین $OA = OB$
از (1) و (2) نتیجه میگیریم: $OB = OC$ بنابراین نقطهٔ $O$ روی عمودمنصف قرار دارد. در نتیجه نقطهٔ $O$ محل برخورد عمود منصفهای اضلاع مثلث $ABC$ است.
مثال: استدلال استنتاجی زیر را کامل کنید و نتیجه بگیرید که سه ارتفاع هر مثلث همرساند.
استدلال: مثلث دلخواه $ABC$ را در نظر بگیرید و از هر رأس آن خطی به موازات ضلع مقابل به آن رأس رسم کنید تا مطابق شکل زیر مثلثی مانند $DEF$ بهوجود آید.
مثلث $ABC$ با مثلثهای $ACF$ و $ABE$ همنهشت است (چرا؟).
بنابراین $AE = BC = AF$ و لذا نقطهٔ $A$ ................... پاره خط $EF$ است.
از طرفی:
$\left. \begin{gathered}
AG \bot BC \hfill \\
BC||EF \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow AG\boxed \bot EF$
لذا خط $AG$ عمودمنصف پاره خط $EF$ است.
بهطور مشابه میتوان نشان داد:
پاره خط $BI$، عمودمنصف پاره خط $DE$ است.
پاره خط $CH$، عمودمنصف پاره خط $DF$ است.
بنابراین، ارتفاعهای مثلث $ABC$، روی عمود منصفهای اضلاع مثلث $DEF$ هستند و در نتیجه همرساند.
مثال: میدانیم که هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع آن زاویه به یک فاصله است و هر نقطه که از دو ضلع یک زاویه به یک فاصله باشد، روی نیمساز آن زاویه قرار دارد. حال با کامل کردن استدلال استنتاجی بیان شده نتیجه بگیرید که نیمسازهای زاویههای داخلی هر مثلث همرساند.
استدلال: مثلث دلخواه $ABC$ در شکل زیر را در نظر میگیریم. نیمسازهای زوایای $A$ و $B$ مانند شکل یکدیگر را در نقطهای مانند $P$ قطع میکنند. از نقطهٔ $P$، مانند شکل سه عمود به اضلاع مثلث رسم میکنیم.
1- نقطهٔ $P$ روی نیمساز زاویهٔ $A$ است؛ بنابراین $PF = PG$
2- نقطهٔ $P$ روی نیمساز زاویهٔ $B$ است؛ بنابراین $PF = PE$
از (1) و (2) نتیجه میگیریم: $PG = PE$ بنابراین نقطهٔ $P$ روی نیمساز زاویه $C$ است در نتیجه نقطهٔ $P$ محل برخورد نیمسازهای زاویههای مثلث $ABC$ است.
فعالیت (صفحه 20 کتاب درسی)
به مثلثهای زیر دقت کنید. در سطر اولِ جدول، نام اضلاع مثلث را به ترتیب از بزرگ به کوچک و در سطر دوم، نام زاویههای مثلث را نیز به ترتیب از بزرگ به کوچک بنویسید.
| $GI$ | $HI$ | $GH$ | اضلاع |
| $\hat H$ | $\hat G$ | $\hat I$ | زاویهها |
| $DF$ | $DE$ | $FE$ | اضلاع |
| $\hat E$ | $\hat F$ | $\hat D$ | زاویهها |
| $AC$ | $BC$ | $AB$ | اضلاع |
| $\hat B$ | $\hat A$ | $\hat C$ | زاویهها |
چه رابطهای بین هر ضلع و زاویهٔ زیر آن وجود دارد؟
ضلع و زاویههایی که زیر هم نوشته شدهاند، روبهروی یکدیگر هستند.
با توجه به این رابطه دربارهٔ یک مثلث دلخواه چه حدسی میتوان زد؟
زاویهٔ روبهرو به ضلع بزرگتر، از بقیهٔ زاویهها بزرگتر است و برعکس.
برای رسیدن به این حدس از چه نوع استدلالی استفاده کردید؟
استدلال استقرایی.
آیا با این استدلال میتوان مطمئن بود که حدس موردنظر درست است؟
خیر، نمیتوان از نتیجهٔ بدست آمده مطمئن بود.
مسئله: اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند،
زاویهٔ روبهرو به ضلع بزرگتر، بزرگتر است از زاویهٔ روبهرو به ضلع کوچکتر.
استدلال: برای واضح شدن مطلب و کمک به حل مسئله، شکل مثلث را رسم میکنیم. آیا میتوان هر نوع مثلث دلخواهی کشید؟ مانند آنچه درمسئله گفته شده است، مثلثی میکشیم که دو ضلع نابرابر داشته باشد و ویژگی خاص دیگری نداشته باشد.
میدانیم طبق فرض $AB \gt AC$ است؛ لذا میتوانیم نقطهٔ $D$ را روی $AB$ جایی انتخاب کنیم که $AC = AD$
* اندازهٔ زاویههای $C$ و ${C_1}$ نسبت به هم چگونهاند؟ ${\hat C_1}$$ \gt $$\hat C$
** اندازهٔ زاویههای ${C_1}$ و ${D_1}$ نسبت به هم چگونهاند؟ ${\hat D_1}$$ = $${\hat C_1}$
زاویهٔ ${D_1}$ چه نوع زاویهای برای مثلث $DBC$ است؟ خارجی
*** اندازهٔ زاویههای ${D_1}$ و $B$ نسبت به هم چگونهاند؟ $\hat B$$ \gt $${\hat D_1}$
از * و ** و *** چه نتیجهای دربارهٔ اندازهٔ زاویههای $B$ و $C$ میتوان گرفت؟ $\hat B$$ \gt $$\hat C$
همانطور که مشاهده کردید در مثلثی مانند $A\mathop B\limits^\Delta C$ فرض کردیم که ضلع $AB \gt AC$ است و نشان دادیم: زاویهٔ روبه رو به $ \gt AC$ زاویهٔ روبهرو به $AB$ است.
چرا میتوان این موضوع را دربارهٔ تمام مثلثهایی که دو ضلع نابرابر دارند، پذیرفت؟
زیرا این اثبات مبتنی بر واقعیتهایی است که راستی آنها را قبول داریم، میباشد (استدلال استنتاجی)
برخی نتایج مهم و پرکاربرد که مانند مسئلهٔ قبل با استدلال استنتاجی بهدست میآید، قضیه نامیده میشود.
قضیه 1: اگر در مثلثی دو ضلع نابرابر باشند،
زاویهٔ روبهرو به ضلع بزرگتر، بزرگتر است از زاویهٔ روبهرو به ضلع کوچکتر.
$AB < AC$ :فرض
$\hat C < \hat B$ :حکم
- بار دیگر به آنچه انجام شد، دقت کنید. بررسی اندازههای اضلاع و زوایای مثلثهای مختلف، دقت در کشف رابطه میان این اندازهها، حدس در برقراری رابطهای خاص، طرح مسئله، اثبات درستی مسئله و نهایتاً نتیجهگیری.
بسیاری از نتایج ریاضی، طی چنین مراحلی توسط علاقهمندان به ریاضی بهدست آمده است. مراحل این روند و حتی حدسها و تفکراتی که درست نیست اما در این مراحل صورت میگیرد، میتواند موجب ارتقای تفکر ریاضی شود.
به طور مثال عکس قضیهٔ 1 بهصورت زیر است:
مثال:
قضیه: اگر یک چهارضلعی متوازی الاضلاع باشد، آنگاه قطرهایش یکدیگر را نصف میکنند.
عکس قضیه: اگر در یک چهارضلعی قطرها یکدیگر را نصف کنند، آنگاه آن چهارضلعی متوازی الاضلاع است.
مثال:
قضیه: اگر دو ضلع از یک مثلث با هم برابر باشند، آنگاه ارتفاعهای وارد بر آن دو ضلع نیز با هم برابرند.
$AB=AC$ :فرض
$BH = CH'$ :حکم
عکس قضیه: اگر دو ارتفاع از یک مثلث با هم برابر باشند، آنگاه اضلاع نظیر به آن ارتفاعها نیز با هم برابرند.
$BH = CH'$ :فرض
$AB = AC$ :حکم
در واقع معمولاً برای نوشتن عکس قضیه، قسمت اصلی فرض، که حکم از آن ناشی میشود با حکم جابهجا میشود؛ مثلاً در مثال قبل مثلث بودن $ABC$ و ارتفاع بودن $BH$ و $CH'$ در خود قضیه و عکس آن جزء مفروضات است.
مثال:
الف) جملههای زیر گزارهاند:
- مجموع زوایای داخلی هر مثلث 180 درجه است.
- $3 \lt 2$
ب) جملههای زیر گزاره نیستند:
- آیا فردا هوا بارانی است؟
- چه هوای خوبی!
- کتابت را مطالعه کن.
نقیض یک گزاره: همانطور که گفته شد، ارزش یک گزاره یا درست است و یا نادرست. نقیض یک گزاره مانند مثالهای زیر ساخته میشود و ارزش آن دقیقاً مخالف ارزش خود گزاره است.
مثال:
الف) گزاره: «$a$ از $b$ بزرگتر است.»
نقیض آن: «چنین نیست که $a$ از $b$ بزرگتر باشد.» که معادل است با «$a$ از $b$ بزرگتر نیست.» و معادل است با «$a$ از $b$ کوچکتر و یا با $b$ برابر است.»
ب) گزاره: «مجموع زوایای داخلی هر مثلث ${180^ \circ }$ است.»
نقیض آن: «چنین نیست که مجموع زوایای داخلی هر مثلث ${180^ \circ }$ است.» که معادل است با «مثلث وجود دارد که مجموع زوایای داخلی آن ${180^ \circ }$ نیست.»
پ) گزاره: «یک چهارضلعی وجود دارد که مجموع زوایای داخلیاش ${360^ \circ }$ نیست.»
نقیض آن: «چنین نیست که یک چهارضلعی وجود داشته باشد که مجموع زوایای داخلیاش ${360^ \circ }$ نیست.» که معادل است با « هر چهارضلعی مجموع زوایای داخلیاش ${360^ \circ }$ است.»
در برخی گزارهها به جای اینکه دربارهٔ چیزی خبری قطعی داده شود، خبری که اعلام میشود با یک شرط بیان میشود؛ مثلاً «اگر باران ببارد، مسابقه برگزار نخواهد شد.» به چنین گزارههایی، گزارههای شرطی میگویند.
مثال: از یک نقطه غیر واقع بر خط نمیتوان بیش از یک عمود بر آن خط رسم کرد.
فرض: نقطهای مانند $A$ غیر واقع بر خطی مانند $d$ وجود دارد.
حکم: از نقطهٔ $A$ نمیتوان بیش از یک عمود بر خط $d$ رسم کرد.
استدلال: با برهان غیرمستقیم فرض میکنیم حکم غلط باشد؛ یعنی فرض میکنیم از نقطهٔ $A$ دو عمود بر خط $d$ را رسم کردهایم که مانند شکل، خط $d$ را در نقاط $B$ و $C$ قطع کردهاند. در این صورت مجموع زوایای داخلی مثلث $ABC$ بزرگتر از ${180^ \circ }$ خواهد شد و این غیرممکن است. پس امکان رسم دو عمود از یک نقطهٔ غیر واقع بر یک خط وجود ندارد؛ یعنی حکم نمیتواند غلط باشد.
حال میخواهیم درستی عکس قضیهٔ 1 را با برهان غیرمستقیم ثابت کنیم.
برای واضح شدن مسئله و کمک به حل آن، شکل مثلث را رسم میکنیم و با استفاده از آن فرض و حکم را مینویسیم.
$\hat A \gt \hat B$ :فرض
$BC \gt AC$ :حکم
اثبات: با برهان غیرمستقیم فرض میکنیم حکم نادرست باشد. نابراین باید $BC \lt AC$ یا $BC = AC$ .
هر دو حالت را جداگانه بررسی میکنیم و نشان میدهیم هر دو حالت به تناقض منجر میشود.
حالت اول: اگر $BC \lt AC$ باشد، طبق قضیهٔ 1 باید $\hat A \lt \hat B$ که بافرض در تناقض است.
حالت دوم: اگر $BC = AC$ باشد، $A\mathop B\limits^\Delta C$ یک مثلث متساویالساقین خواهد بود و میدانیم در این حالت باید $\hat A = \hat B$ باشد که در تناقض با فرض است. لذا هر دو حالت $BC < AC$ و $BC = AC$ غیرممکناند؛ بنابراین $BC \gt AC$ است و حکم درست است.
قضیههای دوشرطی
همانگونه که دیدیم، قضیهٔ 1 و عکس آن هر دو درست است؛ بنابراین میتوانیم بگوییم که:
چنین قضیههای را «قضیهها دو شرطی» مینامیم.
قضیههای دو شرطی را میتوان با نماد $ \Leftrightarrow $ (اگر و تنها اکر) بیان کرد؛ بهطور مثال قضیهٔ فوق و عکس آن را میتوان بهصورت زیر بیان کرد:
فرض کنیم $A\mathop B\limits^\Delta C$ یک مثلث باشد
$BC > AB\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\hat A > \hat C$
مثال: در یک مثلث، دو ضلع با هم برابرند؛ اگر و تنها اگر ارتفاعهای نظیر آنها با هم برابر باشند.
مثال نقض
نوع دیگری از استدلال که با آن آشنا شدهاید، استدلال با مثال نقض است. گاهی در برخی موضوعات (چه ریاضی و چه غیرریاضی) یک حکم بهصورت کلی بیان میشود؛ بدین صورت که در مورد تمام اعضای یک مجموعه یک حکم بیان میشود. موارد زیر نمونههایی از حکمهای کلی است:
الف) «همهٔ اعداد صحیح، مثبتاند.» (حکمی کلی در مورد تمام اعداد صحیح)
ب) «هر چهار ضلعی که چهار ضلع برابر داشته باشد، مربع است.» (حکم کلی در مورد تمام چهرضلعیهایی که چهار ضلع برابر دارند.)
پ) «مجموع زاویههای داخلی هر چهارضلعی محدب ${360^ \circ }$ است.» (حکم کلی در مورد تمام چهارضلعیهای محدب)
ت) «بهازای هر عدد طبیعی $n$، مقدار عبارت ${n^2} + n + 41$ عددی اول است.» (حکم کلی در مورد تمام اعداد طبیعی)
حدس خود را دربارهٔ درستی یا نادرستی حکم کلی «الف» بنویسید. چگونه میتوانید درستی حدس خود را ثابت کنید؟
میدانیم که (2-) یک عدد صحیح و منفی است؛ بنابراین حکم کلی «الف» با ارائهٔ همین مثال رد میشود. به چنین مثالی که نشان میدهد یک حکم کلی نادرست است، مثال نقض گفته میشود. دربارهٔ درستی یا نادرستی «پ» چه میتوانید بگویید؟
اگر برای یک حکم کلی نتوانیم مثال نقض بیاوریم، دربارهٔ درستی یا نادرستی آن حکم چه میتوان گفت؟ آیا در موارد (پ) و (ت) میتوانید مثال نقض پیدا کنید؟
آیا اگر در مورد یک حکم کلی نتوانیم مثال نقض پیدا کنیم، باید درستیِ آن حکم کلی را نتیجهگیری کنیم؟ در مورد (پ) مثال نقض وجود ندارد؛ اما این برای پذیرش حکم کلی (پ) کافی نیست و باید توجه کرد که «برای نشان دادن درستی یک حکم کلی باید اثبات ارائه کنیم.» دربارهٔ گزینهٔ (ت) چه میتوان گفت؟
اگر درستی یا نادرستی یک حکم کلی را نتوانیم اثبات کنیم و برای رد آن مثال نقض نیز نتوانیم بیابیم، نمیتوان دربارهٔ درستی یا نادرستی آن حکم کلی نتیجهای گرفت.
کار در کلاس (صفحه 26 کتاب درسی)
1- در شکل زیر نقطهها، رأسهای یک هفت ضلعی منتظم به طول ضلع $a$ میباشند. فاصلهٔ هر رأس از رأس بعدی برابر $a$ و از دومین رأس بعد از آن برابر $b$ و از سومین رأس بعد از آن برابر $c$ است. آیا حکم کلی زیر درست است؟ «با وصل کردن هر سه رأس از این شکل یک مثلث متساویالساقین، بهدست میآید».
خیر، نقاط $A$ و $B$ و $C$ را که در شکل مشخص شده است. به هم وصل میکنیم. مشاهده میشود که ضلعها دارای اندازههای $a$ و $b$ و $c$ هستند که تشکیل مثلث مختلف الاضلاع میدهند.
2- آیا حکمهای کلی زیر درست است؟ چرا؟
الف) برای هر دو مجموعهٔ $A$ و $B$، یا $A \subseteq B$ و یا $B \subseteq A$
$A$ و $B$ میتواند دو مجموعهٔ جدا از هم باشند:
$A = \left\{ {1,2} \right\},B = \left\{ {3,4} \right\} \Rightarrow \begin{array}{*{20}{c}}
{A\cancel{ \subseteq }B} \\
{B\cancel{ \subseteq }A}
\end{array}$
ب) هر دو مثلث که مساحتهای برابر داشته باشند، هم نهشتاند.
فرض کنیم مثلث $ABC$ دارای ارتفاع 2 و قاعدهٔ 12 باشد، در این صورت ${S_{A\mathop B\limits^\vartriangle C}} = \frac{1}{2}(2 \times 12) = 12$ و مثلث $A'B'C'$ دارای ارتفاع 3 و قاعدهٔ 8 باشد. در نتیجه ${S_{A'\mathop {B'}\limits^\vartriangle C'}} = \frac{1}{2}(3 \times 8) = 12$. میبینیم ${S_{A\mathop B\limits^\vartriangle C}} = {S_{A'\mathop {B'}\limits^\vartriangle C'}}$، اما قاعدهٔها برابر نیستند $(8 \ne 12)$ حداقل یک ضلع آنها با هم برابر نیست.
تمرین (صفحه 26 تا 27 کتاب درسی)
1- میدانیم که از یک نقطهٔ خارج از یک خط فقط یک خط به موازات آن میتوان رسم کرد. حال با برهان خلف ثابت کنید خطی که یکی از دو خط موازی را قطع کند، دیگری را نیز قطع میکند.
استدلال: فرض میکنیم که حکم غلط است. یعنی فرض میکنیم خطی که یکی از دو خط موازی را قطع میکند، دیگری را قطع نمیکند و موازی آن است.
فرض کنیم دو خط ${d_1}$ و ${d_2}$ با هم موازی هستند و خط، خط ${d_1}$ را قطع میکند، بنابراین در نقطهٔ $M$ با هم مشترک هستند. از طرفی خط $d$ خط ${d_2}$ را قطع نمیکند، پس با ${d_2}$ موازی است. یعنی داریم ${d_1}||{d_2}$ و $d||{d_2}$، که از این نتیجه میشود $d||{d_1}$. این در حالی است که نقطهٔ $M$ محل برخورد دو خط ${d_1}$ و $d$ است. پس فرض خلف ما باطل و حکم برقرار است.
2- با برهان خلف ثابت کنید اگر در مثلث $ABC$، $AB \ne AC$ آنگاه $\hat B \ne \hat C$.
برهان خلف: فرض میکنیم حکم غلط است، یعنی فرض میکنیم: $\hat B = C$. میدانیم مثلثی که دو زاویه در آن با هم برابر باشند، یک مثلث متساویالساقین است که الزاماً باید ضلعهای روبهرو به دو زاویهٔ برابر با هم باضند، یعنی $AB = AC$ که خلاف فرض است. در نتیجه $\hat B \ne C$.
3- گزارههای زیر را اثبات یا رد کنید.
الف) در هر مثلث، اندازهٔ بزرگترین زاویه، از چهار برابر اندازهٔ کوچکترین زاویه، کوچکتر است.
مثلثی داریم که اندازهٔ زاویههای آن به ترتیب برابر $\left\{ \begin{gathered}
A = {10^ \circ } \hfill \\
\hat B = {30^ \circ } \hfill \\
C = {140^ \circ } \hfill \\
\end{gathered} \right.$ است که $4 \times {10^ \circ } \lt {140^ \circ }$ (مثال نقض).
ب) در هر مثلث، هر ارتفاع از هرکدام از سه ضلع مثلث کوچکتر است.
مثال نقض: مثلث متساویالساقینی رسم میکنیم که طول ضلعهای آن 6 و 6 و 3 باشد. واضح است که ارتفاع وارد بر ضلع 3 از آن بزرگتر است. $AH \gt BC$
4- نقیض هر یک از گزارههای زیر را بنویسید.
الف) هر لوزی یک مربع است.
چنین نیست که هر لوزی یک مربع است. $ \leftarrow $ مربعی وجود دارد که لوزی نباشد.
ب) مستطیلی وجود دارد که مربع نیست.
چنین نیست که مستطیلی وجود دارد که مربع نیست $ \leftarrow $ هر مستطیلی مربع است.
پ) مثلثی با دو زاویهٔ قائمه وجود ندارد.
چنین نیست که هیچ مثلثی بیش از یک زاویهٔ قائمه نداشته باشد. $ \leftarrow $ مثلثی وجود دارد که حداقل 2 زاویهٔ قائمه دارد.
ت) همهٔ فلزات جامدند.
6- فرض کنیم $ABC$ مثلثی دلخواه و $AD$ نیمساز زاویهٔ $A$ باشد. دلایل هر یک از نتایج زیر رابنویسید و نتیجهٔ نهایی که در پایان آمده است را کامل نمایید.
الف) ${\hat D_2} \gt {\hat A_1}$، زیرا ........................ .
ب) ${\hat D_2} \gt {\hat A_2}$، زیرا ...................... .
پ) $AC \gt DC$، زیرا ................ .
ت) با روندی مشابه سه قسمت قبل نشان دهید: $AB \gt BD$
ث) حال نشان دهید: $AB + AC \gt BC$
نتیجه: در هر مثلث، مجموع اندازههای هر دو ضلع از اندازهٔ .............. ، ................... است.